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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

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8.
a) Verificar que lim⁡x→+∞exx3=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}=+\infty Explicar con sus palabras por qué lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty para cualquier n∈Nn \in \mathbb{N}. Esto demuestra que la función exponencial tiende al infinito más rápido que cualquier potencia de x\mathrm{x}.

Respuesta

Vamos a calcular el límite

lim⁡x→+∞exx3\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}

y veamos que efectivamente nos da +∞+\infty.

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito" que, con las herramientas que teníamos hasta ahora, no podemos salvar. Vamos a usar L'Hopital en este caso. Acordate que L'Hopital nos sirve para salvar indeterminaciones de tipo "infinito sobre infinito" y "cero sobre cero". Si aplicamos L'Hopital nos queda:

lim⁡x→+∞ex3x2\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{3x^2}

Sigue la indeterminación, volvemos a aplicar L'Hopital...

lim⁡x→+∞ex6x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{6x}

Aplicamos L'Hopital una vez más...

lim⁡x→+∞ex6=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{6} = +\infty

Por lo tanto, vemos que el resultado del límite efectivamente es +∞+\infty

Ahora tratemos de entender por qué

lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty

para cualquier nn natural. 

Fijate que si aplicamos L'Hopital como hicimos recién, la derivada del numerador siempre va a ser exe^x. Y el numerador lo voy a poder derivar tantas veces como sea necesario, pero al final siempre voy a poder lograr que me quede un número (como nos pasó en el ejemplo de recién). Por lo tanto, este límite (después de aplicar L'Hopital quizás muuuuchas veces) me va a terminar dando siempre +∞+\infty, no importa el grado del polinomio que tenga en el denominador.
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abrill
4 de junio 17:00
Hola profeee, consulta del ejercicio 2 al 7 no me aparecen las resoluciones, queria saber si simplemente no los resolviste o es un error mio. graciass
0 Responder
Flor
PROFE
4 de junio 20:23
@abrill Hola Abril! Nooo, esos no los resolví, porque no llegaba a tiempo a resolver todas las guías completas para que las tengan este cuatri sino! :( Entonces por eso fui eligiendo de cada guía los que a mi criterio eran más clave, más parecidos a los que aparecen en parciales o que les ayudaba a complementar las clases en video... los que son medio volados como esos de la estación espacial quedarán para el otro cuatri xD 
0 Responder